数学

研究数量、结构、变化和空间的科学

第一章数论

1.1 整数

1.1.1 整除性

定义：若a = bq（q为整数），则称b整除a，记作b|a。

性质：
- 若b|a且b|c，则b|(a±c)
- 若b|a，则b|ka（k为整数）
- 若b|a且a≠0，则|b|≤|a|

1.1.2 质数与合数

定义：大于1的整数，若只有1和自身两个正因数，则为质数；否则为合数。

质数定理：
π(x) ~ x/ln x

1.1.3 最大公约数与最小公倍数

欧几里得算法：

gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

性质：
- gcd(a,b) × lcm(a,b) = |ab|

1.2 同余

1.2.1 同余定义

a ≡ b (mod n) 当且仅当 n|(a-b)

1.2.2 费马小定理

若p为质数，a不是p的倍数，则：
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

1.2.3 欧拉定理

若(a,n)=1，则：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

其中φ(n)为欧拉函数。

第二章代数

2.1 多项式

2.1.1 基本概念

n次多项式：
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

2.1.2 因式定理

P(a)=0 当且仅当 (x-a)|P(x)

2.1.3 韦达定理

若方程 a_n x^n + ... + a_0 = 0 的根为 x_1, x_2, ..., x_n，则：
- x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1}/a_n
- x_1 x_2 ... x_n = (-1)^n a_0/a_n

2.2 行列式

2.2.1 二阶行列式

| a b |
| c d | = ad - bc

2.2.2 三阶行列式（沙路法则）

对角线法则

2.2.3 行列式性质

转置相等
互换两行变号
一行公因子可提出
两行成比例为零
拆分性

2.3 矩阵

2.3.1 矩阵运算

加法：同型矩阵
数乘
乘法：满足结合律、分配律，不满足交换律

2.3.2 逆矩阵

A A^{-1} = A^{-1} A = I

求法：
- 伴随矩阵法
- 初等变换法

2.3.3 秩

行秩 = 列秩 = 秩

第三章几何

3.1 平面几何

3.1.1 三角形

面积公式：
- S = 1/2 × 底 × 高
- S = 1/2 ab sin C
- 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，p=(a+b+c)/2

内心：内切圆圆心
外心：外接圆圆心
重心：中线交点
垂心：高线交点

3.1.2 圆

弧长：L = Rθ

面积：S = πR²

扇形面积：S = 1/2 R²θ

3.2 解析几何

3.2.1 直线

点斜式：y - y_0 = k(x - x_0)
两点式：(y-y_1)/(x-x_1) = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)
一般式：Ax + By + C = 0

距离公式：
d = |Ax_0 + By_0 + C| / √(A²+B²)

3.2.2 圆

标准方程：(x-a)² + (y-b)² = R²
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

3.2.3 椭圆

标准方程：x²/a² + y²/b² = 1 (a>b)
离心率：e = c/a

3.2.4 双曲线

标准方程：x²/a² - y²/b² = 1
渐近线：y = ±(b/a)x

3.2.5 抛物线

标准方程：y² = 2px 或 x² = 2py

第四章三角函数

4.1 基本公式

4.1.1 同角关系

sin²α + cos²α = 1
tanα = sinα/cosα

4.1.2 诱导公式

奇变偶不变，符号看象限

4.1.3 和差公式

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)

4.1.4 倍角公式

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
tan2α = 2tanα/(1-tan²α)

4.1.5 半角公式

sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2) = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα

4.2 解三角形

4.2.1 正弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

4.2.2 余弦定理

a² = b² + c² - 2bc cosA
b² = a² + c² - 2ac cosB
c² = a² + b² - 2ab cosC

第五章函数

5.1 函数概念

5.1.1 定义

设A、B为非空数集，若对A中每个x，按照对应法则f，在B中有唯一确定的y与之对应，则称f：A→B为函数。

5.1.2 表示方法

解析法
列表法
图象法

5.2 基本初等函数

5.2.1 幂函数

y = x^a

5.2.2 指数函数

y = a^x (a>0, a≠1)

5.2.3 对数函数

y = log_a x (a>0, a≠1)

运算性质：
- log_a (MN) = log_a M + log_a N
- log_a (M/N) = log_a M - log_a N
- log_a M^n = n log_a M

5.2.4 三角函数

y = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x

5.2.5 反三角函数

y = arcsin x, arccos x, arctan x

第六章极限

6.1 数列极限

6.1.1 定义

若对任意ε>0，存在N，当n>N时，|a_n - a|<ε，则lim a_n = a

6.1.2 性质

唯一性
有界性
保号性

6.1.3 常用极限

lim (1 + 1/n)^n = e
lim sin x/x = 1 (x→0)

6.2 函数极限

6.2.1 定义

若对任意ε>0，存在δ，当0<|x-x_0|<δ时，|f(x)-A|<ε，则lim f(x) = A

6.2.2 运算法则

若lim f(x) = A, lim g(x) = B，则：
- lim [f(x) ± g(x)] = A ± B
- lim f(x)g(x) = AB
- lim f(x)/g(x) = A/B (B≠0)

第七章连续

7.1 连续性定义

若lim f(x) = f(x_0)，则f在x_0连续。

7.2 间断点

7.2.1 第一类间断点

可去间断点
跳跃间断点

7.2.2 第二类间断点

无穷间断点
振荡间断点

7.3 闭区间连续函数性质

有界性
最值性
介值性
一致连续性

第八章导数

8.1 导数定义

f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx (Δx→0)

8.2 求导法则

8.2.1 基本公式

(C)' = 0
(x^n)' = nx^{n-1}
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(e^x)' = e^x
(a^x)' = a^x ln a
(ln x)' = 1/x

8.2.2 运算法则

(u ± v)' = u' ± v'
(uv)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v - uv')/v²

8.2.3 复合函数

y = f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) · g'(x)

8.3 中值定理

8.3.1 罗尔定理

若f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使f'(c)=0

8.3.2 拉格朗日中值定理

存在c∈(a,b)，使 f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

8.3.3 柯西中值定理

第九章积分

9.1 不定积分

9.1.1 定义

若F'(x) = f(x)，则∫f(x)dx = F(x) + C

9.1.2 基本公式

∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n≠-1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ e^x dx = e^x + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C

9.2 定积分

9.2.1 定义

∫_a^b f(x)dx = lim Σ f(ξ_i)Δx_i

9.2.2 牛顿-莱布尼茨公式

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

9.2.3 应用

平面图形面积
旋转体体积
曲线弧长

第十章微分方程

10.1 一阶微分方程

10.1.1 可分离变量

dy/dx = f(x)g(y)

解法：分离变量，两边积分

10.1.2 齐次方程

dy/dx = f(y/x)

解法：令u = y/x

10.1.3 一阶线性

dy/dx + P(x)y = Q(x)

解法：常数变易法或公式法

10.2 二阶常系数线性微分方程

10.2.1 齐次方程

y'' + py' + qy = 0

特征方程：r² + pr + q = 0

10.2.2 非齐次方程

y'' + py' + qy = f(x)

特解形式：
- f(x) = e^{λx}P_n(x)：特解设x^s(e^{λx}Q_n(x))
- f(x) = e^{αx}[P_m(x)cosβx + Q_n(x)sinβx]

笔记整理：AI助手
更新时间：2026-03-19

数学

第一章 数论